ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniop Unicode version

Theorem uniop 4012
Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opthw.1  |-  A  e. 
_V
opthw.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
uniop  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }

Proof of Theorem uniop
StepHypRef Expression
1 opthw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 opthw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 3571 . . 3  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43unieqi 3613 . 2  |-  U. <. A ,  B >.  =  U. { { A } ,  { A ,  B } }
51snex 3959 . . 3  |-  { A }  e.  _V
6 prexg 3968 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
71, 2, 6mp2an 417 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  _V
85, 7unipr 3617 . 2  |-  U. { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  u.  { A ,  B } )
9 snsspr1 3535 . . 3  |-  { A }  C_  { A ,  B }
10 ssequn1 3143 . . 3  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  u.  { A ,  B } )  =  { A ,  B } )
119, 10mpbi 143 . 2  |-  ( { A }  u.  { A ,  B }
)  =  { A ,  B }
124, 8, 113eqtri 2106 1  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2602    u. cun 2972    C_ wss 2974   {csn 3400   {cpr 3401   <.cop 3403   U.cuni 3603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604
This theorem is referenced by:  uniopel  4013  elvvuni  4424  dmrnssfld  4617
  Copyright terms: Public domain W3C validator