Theorem uniopel 4173

Description: Ordered pair membership is inherited by class union. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniopel	|- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Proof of Theorem uniopel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	uniop 4172	. . 3 |- U. <. A , B >. = { A , B }
4	1, 2	opi2 4150	. . 3 |- { A , B } e. <. A , B >.
5	3, 4	eqeltri 2210	. 2 |- U. <. A , B >. e. <. A , B >.
6		elssuni 3759	. . 3 |- ( <. A , B >. e. C -> <. A , B >. C_ U. C )
7	6	sseld 3091	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> ( U. <. A , B >. e. <. A , B >. -> U. <. A , B >. e. U. C ) )
8	5, 7	mpi 15	1 |- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {cpr 3523   <.cop 3525   U.cuni 3731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732

This theorem is referenced by:  dmrnssfld  4797  unielrel  5061