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Theorem unopab 3864
Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
unopab  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  u.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ph  \/  ps ) }

Proof of Theorem unopab
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unab 3232 . . 3  |-  ( { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  u.  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) } )  =  { z  |  ( E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) }
2 19.43 1535 . . . . 5  |-  ( E. x ( E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  \/ 
E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
3 andi 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) )  <-> 
( ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
43exbii 1512 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) )  <->  E. y
( ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
5 19.43 1535 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  \/  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
64, 5bitr2i 178 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  \/ 
E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) )
76exbii 1512 . . . . 5  |-  ( E. x ( E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) )
82, 7bitr3i 179 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) )
98abbii 2169 . . 3  |-  { z  |  ( E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) }  =  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) }
101, 9eqtri 2076 . 2  |-  ( { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  u.  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) } )  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) }
11 df-opab 3847 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }
12 df-opab 3847 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ps }  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) }
1311, 12uneq12i 3123 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  u.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  ( { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  u.  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) } )
14 df-opab 3847 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  (
ph  \/  ps ) }  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) }
1510, 13, 143eqtr4i 2086 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  u.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ph  \/  ps ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    \/ wo 639    = wceq 1259   E.wex 1397   {cab 2042    u. cun 2943   <.cop 3406   {copab 3845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2950  df-opab 3847
This theorem is referenced by:  xpundi  4424  xpundir  4425  cnvun  4757  coundi  4850  coundir  4851  mptun  5057
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