Theorem unsnfi 6800

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6648	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1002	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		peano2 4504	. . . . 5 |- ( n e. om -> suc n e. om )
5	4	ad2antrl 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
6		simprr 521	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
7		simpl2 985	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
8		simprl 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
9		en2sn 6700	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ n e. om ) -> { B } ~~ { n } )
10	7, 8, 9	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> { B } ~~ { n } )
11		disjsn 3580	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
12	11	biimpri 132	. . . . . . . 8 |- ( -. B e. A -> ( A i^i { B } ) = (/) )
13	12	3ad2ant3 1004	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
14	13	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
15		nnord 4520	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordirr 4452	. . . . . . . . 9 |- ( Ord n -> -. n e. n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> -. n e. n )
18		disjsn 3580	. . . . . . . 8 |- ( ( n i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. n )
19	17, 18	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n i^i { n } ) = (/) )
20	19	ad2antrl 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n i^i { n } ) = (/) )
21		unen 6703	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~~ n /\ { B } ~~ { n } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( n i^i { n } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1217	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( n u. { n } ) )
23		df-suc 4288	. . . . 5 |- suc n = ( n u. { n } )
24	22, 23	breqtrrdi 3965	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
25		breq2 3928	. . . . 5 |- ( m = suc n -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> ( A u. { B } ) ~~ suc n ) )
26	25	rspcev 2784	. . . 4 |- ( ( suc n e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ suc n ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
27	5, 24, 26	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
28		isfi 6648	. . 3 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
29	27, 28	sylibr 133	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
30	3, 29	rexlimddv 2552	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   u. cun 3064   i^i cin 3065   (/)c0 3358   {csn 3522   class class class wbr 3924   Ord word 4279   suc csuc 4282   omcom 4499   ~~ cen 6625   Fincfn 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630

This theorem is referenced by:  unfidisj  6803  fisseneq  6813  ssfirab  6815  fnfi  6818  fidcenumlemr  6836  fsumsplitsn  11172  fsumabs  11227  fsumiun  11239  fsumcncntop  12714