ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfi Unicode version

Theorem unsnfi 6464
Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )

Proof of Theorem unsnfi
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6330 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 118 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
323ad2ant1 960 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
4 peano2 4365 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
54ad2antrl 474 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  suc  n  e.  om )
6 simprr 499 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~~  n )
7 simpl2 943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  B  e.  V )
8 simprl 498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  n  e.  om )
9 en2sn 6380 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  n  e.  om )  ->  { B }  ~~  { n } )
107, 8, 9syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  { B }  ~~  {
n } )
11 disjsn 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
1211biimpri 131 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  A  -> 
( A  i^i  { B } )  =  (/) )
13123ad2ant3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
1413adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  i^i  { B } )  =  (/) )
15 nnord 4381 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
16 ordirr 4314 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  n  ->  -.  n  e.  n )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  -.  n  e.  n )
18 disjsn 3473 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  i^i  { n } )  =  (/)  <->  -.  n  e.  n )
1917, 18sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  (
n  i^i  { n } )  =  (/) )
2019ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( n  i^i  {
n } )  =  (/) )
21 unen 6383 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~~  n  /\  { B }  ~~  { n } )  /\  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  /\  ( n  i^i 
{ n } )  =  (/) ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  (
n  u.  { n } ) )
226, 10, 14, 20, 21syl22anc 1171 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  (
n  u.  { n } ) )
23 df-suc 4155 . . . . 5  |-  suc  n  =  ( n  u. 
{ n } )
2422, 23syl6breqr 3846 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )
25 breq2 3810 . . . . 5  |-  ( m  =  suc  n  -> 
( ( A  u.  { B } )  ~~  m 
<->  ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n ) )
2625rspcev 2710 . . . 4  |-  ( ( suc  n  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m )
275, 24, 26syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
28 isfi 6330 . . 3  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
2927, 28sylibr 132 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  e.  Fin )
303, 29rexlimddv 2486 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354    u. cun 2981    i^i cin 2982   (/)c0 3268   {csn 3417   class class class wbr 3806   Ord word 4146   suc csuc 4149   omcom 4360    ~~ cen 6307   Fincfn 6309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-1o 6086  df-er 6194  df-en 6310  df-fin 6312
This theorem is referenced by:  unfidisj  6467  fisseneq  6475  ssfirab  6476  fnfi  6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator