ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfidcex Unicode version

Theorem unsnfidcex 6776
Description: The  B  e.  V condition in unsnfi 6775. This is intended to show that unsnfi 6775 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcex  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  -> DECID  -.  B  e.  _V )

Proof of Theorem unsnfidcex
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6623 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 119 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
323ad2ant1 987 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n )
4 isfi 6623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
54biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
653ad2ant3 989 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
76adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
8 simprr 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~~  n )
98ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  A  ~~  n )
10 simplr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  m  =  n )
119, 10breqtrrd 3926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  A  ~~  m )
12 simprr 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
1312ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
1413ensymd 6645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  m  ~~  ( A  u.  { B } ) )
15 entr 6646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~~  m  /\  m  ~~  ( A  u.  { B } ) )  ->  A  ~~  ( A  u.  { B } ) )
1611, 14, 15syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  A  ~~  ( A  u.  { B } ) )
17 simp1 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
1817ad4antr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  A  e.  Fin )
19 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
20 simp2 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  -.  B  e.  A )
2120ad4antr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  -.  B  e.  A )
2219, 21eldifd 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  B  e.  ( _V  \  A
) )
23 php5fin 6744 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
2418, 22, 23syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  B  e.  _V )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B } ) )
2516, 24pm2.65da 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  ->  -.  B  e.  _V )
2625orcd 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  ->  ( -.  B  e.  _V  \/  -.  -.  B  e. 
_V ) )
278ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  A  ~~  n
)
2827ensymd 6645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  n  ~~  A
)
29 snprc 3558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  B  e.  _V  <->  { B }  =  (/) )
3029biimpi 119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  { B }  =  (/) )
3130uneq2d 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  ( A  u.  { B } )  =  ( A  u.  (/) ) )
32 un0 3366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
3331, 32syl6eq 2166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
3433adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
3512ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m )
3634, 35eqbrtrrd 3922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  A  ~~  m
)
37 entr 6646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  ~~  A  /\  A  ~~  m )  ->  n  ~~  m )
3828, 36, 37syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  n  ~~  m
)
39 simplrl 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  ->  n  e.  om )
4039ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  n  e.  om )
41 simprl 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  ->  m  e.  om )
4241ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  m  e.  om )
43 nneneq 6719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( n  ~~  m  <->  n  =  m ) )
4440, 42, 43syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  ( n  ~~  m 
<->  n  =  m ) )
4538, 44mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  n  =  m )
4645eqcomd 2123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  m  =  n )
47 simplr 504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  -.  B  e.  _V )  ->  -.  m  =  n )
4846, 47pm2.65da 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  ->  -.  -.  B  e. 
_V )
4948olcd 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  ->  ( -.  B  e. 
_V  \/  -.  -.  B  e.  _V ) )
50 nndceq 6363 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  -> DECID  m  =  n )
5141, 39, 50syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  -> DECID  m  =  n
)
52 exmiddc 806 . . . . . 6  |-  (DECID  m  =  n  ->  ( m  =  n  \/  -.  m  =  n )
)
5351, 52syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  ->  (
m  =  n  \/ 
-.  m  =  n ) )
5426, 49, 53mpjaodan 772 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  ->  ( -.  B  e.  _V  \/  -.  -.  B  e. 
_V ) )
557, 54rexlimddv 2531 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( -.  B  e. 
_V  \/  -.  -.  B  e.  _V ) )
563, 55rexlimddv 2531 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  ( -.  B  e.  _V  \/  -.  -.  B  e.  _V )
)
57 df-dc 805 . 2  |-  (DECID  -.  B  e.  _V  <->  ( -.  B  e.  _V  \/  -.  -.  B  e.  _V )
)
5856, 57sylibr 133 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  A  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  -> DECID  -.  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    u. cun 3039   (/)c0 3333   {csn 3497   class class class wbr 3899   omcom 4474    ~~ cen 6600   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator