ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz3m2nn Unicode version

Theorem uz3m2nn 9336
Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uz3m2nn  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  -  2 )  e.  NN )

Proof of Theorem uz3m2nn
StepHypRef Expression
1 eluz2 9300 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  3  <_  N ) )
2 2lt3 8858 . . . . . 6  |-  2  <  3
3 2re 8758 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
5 3re 8762 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
65a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
7 zre 9026 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 ltletr 7821 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N
) )
94, 6, 7, 8syl3anc 1201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N
) )
102, 9mpani 426 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  ->  2  <  N ) )
1110imp 123 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  3  <_  N )  -> 
2  <  N )
12113adant1 984 . . 3  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N )
131, 12sylbi 120 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  N )
14 2nn 8849 . . 3  |-  2  e.  NN
15 eluzge3nn 9335 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
16 nnsub 8727 . . 3  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  <  N  <->  ( N  -  2 )  e.  NN ) )
1714, 15, 16sylancr 410 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  N  <->  ( N  -  2 )  e.  NN ) )
1813, 17mpbid 146 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  -  2 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RRcr 7587    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   NNcn 8688   2c2 8739   3c3 8740   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator