Theorem uzf 8703

Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	|- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3080	. . . 4 |- { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ
2		zex 8441	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 3940	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | j <_ k } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 144	. . 3 |- { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
5	4	rgenw 2419	. 2 |- A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ
6		df-uz 8701	. . 3 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
7	6	fmpt 5351	. 2 |- ( A. j e. ZZ { k e. ZZ | j <_ k } e. ~P ZZ <-> ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 143	1 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Syntax hints:   e. wcel 1434   A.wral 2349   {crab 2353   C_ wss 2974   ~Pcpw 3390   class class class wbr 3793   -->wf 4928   <_ cle 7216   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-neg 7349  df-z 8433  df-uz 8701

This theorem is referenced by:  eluzel2  8705  uzn0  8715  uzin2  10011  rexanuz  10012  climmpt  10277