Theorem uzid 9340

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9058	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8276	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 321	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9330	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 166	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  uzn0  9341  uz11  9348  eluzfz1  9811  eluzfz2  9812  elfz3  9814  elfz1end  9835  fzssp1  9847  fzpred  9850  fzp1ss  9853  fzpr  9857  fztp  9858  elfz0add  9900  fzolb  9930  zpnn0elfzo  9984  fzosplitsnm1  9986  fzofzp1  10004  fzosplitsn  10010  fzostep1  10014  frec2uzuzd  10175  frecuzrdgrrn  10181  frec2uzrdg  10182  frecuzrdgrcl  10183  frecuzrdgsuc  10187  frecuzrdgrclt  10188  frecuzrdgg  10189  frecuzrdgsuctlem  10196  uzsinds  10215  seq3val  10231  seqvalcd  10232  seq3-1  10233  seqf  10234  seq3p1  10235  seq3fveq  10244  seq3-1p  10253  seq3caopr3  10254  iseqf1olemjpcl  10268  iseqf1olemqpcl  10269  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  seq3homo  10283  faclbnd3  10489  bcm1k  10506  bcn2  10510  seq3coll  10585  rexuz3  10762  r19.2uz  10765  resqrexlemcvg  10791  resqrexlemgt0  10792  resqrexlemoverl  10793  cau3lem  10886  caubnd2  10889  climconst  11059  climuni  11062  climcau  11116  serf0  11121  fsumparts  11239  isum1p  11261  isumrpcl  11263  cvgratz  11301  mertenslemi1  11304  ntrivcvgap0  11318  eftlub  11396  zsupcllemstep  11638  zsupcllemex  11639  ialgr0  11725  eucalg  11740  pw2dvds  11844  ennnfonelem1  11920  lmconst  12385  cvgcmp2nlemabs  13227  trilpolemlt1  13234