ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzid Unicode version

Theorem uzid 8766
Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzid  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem uzid
StepHypRef Expression
1 zre 8488 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
21leidd 7734 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  <_  M )
32ancli 316 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M ) )
4 eluz1 8756 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M ) ) )
53, 4mpbird 165 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952    <_ cle 7268   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5566  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-neg 7401  df-z 8485  df-uz 8753
This theorem is referenced by:  uzn0  8767  uz11  8774  eluzfz1  9178  eluzfz2  9179  elfz3  9181  elfz1end  9202  fzssp1  9213  fzpred  9215  fzp1ss  9218  fzpr  9222  fztp  9223  elfz0add  9263  fzolb  9291  zpnn0elfzo  9345  fzosplitsnm1  9347  fzofzp1  9365  fzosplitsn  9371  fzostep1  9375  frec2uzuzd  9536  frecuzrdgrrn  9542  frec2uzrdg  9543  frecuzrdgrcl  9544  frecuzrdgsuc  9548  frecuzrdgrclt  9549  frecuzrdgg  9550  frecuzrdgsuctlem  9557  uzsinds  9570  iseqvalt  9584  iseq1  9585  iseq1t  9586  iseqfcl  9587  iseqfclt  9588  iseqcl  9589  iseqp1  9590  iseqp1t  9591  iseqfveq  9598  iseq1p  9607  iseqcaopr3  9608  iseqhomo  9617  faclbnd3  9819  bcm1k  9836  bcn2  9840  rexuz3  10077  r19.2uz  10080  resqrexlemcvg  10106  resqrexlemgt0  10107  resqrexlemoverl  10108  cau3lem  10201  caubnd2  10204  climconst  10330  climuni  10333  climcau  10385  serif0  10390  zsupcllemstep  10548  zsupcllemex  10549  ialgr0  10633  eucialg  10648  pw2dvds  10751
  Copyright terms: Public domain W3C validator