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Theorem uzind 8408
Description: Induction on the upper integers that start at  M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzind.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzind.3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzind.4  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzind.5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
uzind.6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzind  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    j, N    ps, j    ch, j    th, j    ta, j    ph, k    j, k, M
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( k)    ch( k)    th( k)    ta( k)    N( k)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 8306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
21leidd 7580 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  <_  M )
3 uzind.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
42, 3jca 294 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  M  /\  ps ) )
54ancli 310 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( M  <_  M  /\  ps ) ) )
6 breq2 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  M ) )
7 uzind.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
86, 7anbi12d 450 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  M  /\  ps )
) )
98elrab 2721 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( M  <_  M  /\  ps ) ) )
105, 9sylibr 141 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) } )
11 peano2z 8338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ ) )
1312adantrd 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ ) )
14 zre 8306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
15 ltp1 7885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
1615adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
17 peano2re 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1817ancli 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR ) )
19 lelttr 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  (
k  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( M  <_ 
k  /\  k  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
20193expb 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( ( M  <_  k  /\  k  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
2118, 20sylan2 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
2216, 21mpan2d 412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
23 ltle 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  < 
( k  +  1 )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
2417, 23sylan2 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( M  <  (
k  +  1 )  ->  M  <_  (
k  +  1 ) ) )
2522, 24syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
261, 14, 25syl2an 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
2726adantrd 268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  ch )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
2827expimpd 349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  ( ch  ->  th ) )
30293exp 1114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( M  <_  k  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3130imp4d 338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  ->  th ) )
3228, 31jcad 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  /\  th ) ) )
3313, 32jcad 295 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  -> 
( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  <_  (
k  +  1 )  /\  th ) ) ) )
34 breq2 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
35 uzind.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3634, 35anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  k  /\  ch )
) )
3736elrab 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) ) )
38 breq2 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
39 uzind.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
4038, 39anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  ( k  +  1 )  /\  th )
) )
4140elrab 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  <_  ( k  +  1 )  /\  th ) ) )
4233, 37, 413imtr4g 198 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  ->  (
k  +  1 )  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } ) )
4342ralrimiv 2408 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) }  ( k  +  1 )  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } )
44 peano5uzti 8405 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  {
j  e.  ZZ  | 
( M  <_  j  /\  ph ) }  /\  A. k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  ( k  +  1 )  e. 
{ j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) } )  ->  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  C_  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } ) )
4510, 43, 44mp2and 417 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  C_  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } )
4645sseld 2972 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  ->  N  e. 
{ j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) } ) )
47 breq2 3796 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( M  <_  w  <->  M  <_  N ) )
4847elrab 2721 . . . . 5  |-  ( N  e.  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
49 breq2 3796 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
50 uzind.4 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5149, 50anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  N  /\  ta )
) )
5251elrab 2721 . . . . 5  |-  ( N  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  ta ) ) )
5346, 48, 523imtr3g 197 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  ta ) ) ) )
54533impib 1113 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  ta ) ) )
5554simprd 111 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  <_  N  /\  ta ) )
5655simprd 111 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   {crab 2327    C_ wss 2945   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   RRcr 6946   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by:  uzind2  8409  uzind3  8410  nn0ind  8411  fzind  8412  resqrexlemdecn  9839  ialgcvga  10273
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