Theorem uztrn 8705

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	|- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 8694	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
2	1	adantl 271	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
3		eluzelz 8698	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
4	3	adantr 270	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
5		eluzle 8701	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
6	5	adantl 271	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
7		eluzle 8701	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
8	7	adantr 270	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K <_ M )
9		eluzelz 8698	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> K e. ZZ )
10	9	adantl 271	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
11		zletr 8470	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( N <_ K /\ K <_ M ) -> N <_ M ) )
13	6, 8, 12	mp2and 424	. 2 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ M )
14		eluz2 8695	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M ) )
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1123	1 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926   <_ cle 7205   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-pre-ltwlin 7140

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-ov 5540  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-neg 7338  df-z 8422  df-uz 8690

This theorem is referenced by:  uztrn2  8706  fzsplit2  9134  fzass4  9145  fzss1  9146  fzss2  9147  uzsplit  9174  iseqfveq2  9533  isermono  9542  iseqsplit  9543  iseqid  9552  iseqid2  9553  iseqz  9555  dvdsfac  10394