Theorem wetrep 4143

Description: An epsilon well-ordering is a transitive relation. (Contributed by NM, 22-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
wetrep	|- ( ( _E We A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem wetrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 922	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) )
2		df-wetr 4117	. . . . . . . . 9 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
3	2	simprbi 269	. . . . . . . 8 |- ( _E We A -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
4	3	r19.21bi 2454	. . . . . . 7 |- ( ( _E We A /\ x e. A ) -> A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
5	4	r19.21bi 2454	. . . . . 6 |- ( ( ( _E We A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
6	5	anasss 391	. . . . 5 |- ( ( _E We A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
7	6	r19.21bi 2454	. . . 4 |- ( ( ( _E We A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
8	7	anasss 391	. . 3 |- ( ( _E We A /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
9	1, 8	sylan2b 281	. 2 |- ( ( _E We A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
10		epel 4075	. . 3 |- ( x _E y <-> x e. y )
11		epel 4075	. . 3 |- ( y _E z <-> y e. z )
12	10, 11	anbi12i 448	. 2 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
13		epel 4075	. 2 |- ( x _E z <-> x e. z )
14	9, 12, 13	3imtr3g 202	1 |- ( ( _E We A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 920   e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805   _E cep 4070   Fr wfr 4111   We wwe 4113

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-eprel 4072  df-wetr 4117

This theorem is referenced by:  wessep  4348