Theorem xlt0neg2 9059

Description: Extended real version of lt0neg2 7717. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlt0neg2	|- ( A e. RR* -> ( 0 < A <-> -e A < 0 ) )

Proof of Theorem xlt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7304	. . 3 |- 0 e. RR*
2		xltneg 9056	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( 0 < A <-> -e A < -e 0 ) )
3	1, 2	mpan 415	. 2 |- ( A e. RR* -> ( 0 < A <-> -e A < -e 0 ) )
4		xneg0 9051	. . 3 |- -e 0 = 0
5	4	breq2i 3814	. 2 |- ( -e A < -e 0 <-> -e A < 0 )
6	3, 5	syl6bb 194	1 |- ( A e. RR* -> ( 0 < A <-> -e A < 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3806   0cc0 7120   RR*cxr 7291   < clt 7292   -ecxne 8998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-sub 7425  df-neg 7426  df-xneg 9001

This theorem is referenced by: (None)