Theorem xnegcl 9615

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	|- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9563	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		rexneg 9613	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
3		renegcl 8023	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
4	2, 3	eqeltrd 2216	. . . 4 |- ( A e. RR -> -e A e. RR )
5	4	rexrd 7815	. . 3 |- ( A e. RR -> -e A e. RR* )
6		xnegeq 9610	. . . 4 |- ( A = +oo -> -e A = -e +oo )
7		xnegpnf 9611	. . . . 5 |- -e +oo = -oo
8		mnfxr 7822	. . . . 5 |- -oo e. RR*
9	7, 8	eqeltri 2212	. . . 4 |- -e +oo e. RR*
10	6, 9	eqeltrdi 2230	. . 3 |- ( A = +oo -> -e A e. RR* )
11		xnegeq 9610	. . . 4 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
12		xnegmnf 9612	. . . . 5 |- -e -oo = +oo
13		pnfxr 7818	. . . . 5 |- +oo e. RR*
14	12, 13	eqeltri 2212	. . . 4 |- -e -oo e. RR*
15	11, 14	eqeltrdi 2230	. . 3 |- ( A = -oo -> -e A e. RR* )
16	5, 10, 15	3jaoi 1281	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> -e A e. RR* )
17	1, 16	sylbi 120	1 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   RRcr 7619   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   -ucneg 7934   -ecxne 9556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-sub 7935  df-neg 7936  df-xneg 9559

This theorem is referenced by:  xltneg  9619  xleneg  9620  xnegcld  9638  xnegdi  9651  xaddass2  9653  xleadd1  9658  xsubge0  9664  xrnegiso  11031  xrminmax  11034  xrmincl  11035  xrmin1inf  11036  xrmin2inf  11037  xrlemininf  11040  xrminltinf  11041