Theorem xnegmnf 9605

Description: Minus -oo. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	|- -e -oo = +oo

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 9552	. 2 |- -e -oo = if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
2		mnfnepnf 7814	. . 3 |- -oo =/= +oo
3		ifnefalse 3480	. . 3 |- ( -oo =/= +oo -> if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo )
5		eqid 2137	. . 3 |- -oo = -oo
6	5	iftruei 3475	. 2 |- if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) = +oo
7	1, 4, 6	3eqtri 2162	1 |- -e -oo = +oo

Syntax hints:   = wceq 1331   =/= wne 2306   ifcif 3469   +oocpnf 7790   -oocmnf 7791   -ucneg 7927   -ecxne 9549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-un 4350  ax-cnex 7704

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-xneg 9552

This theorem is referenced by:  xnegcl  9608  xnegneg  9609  xltnegi  9611  xnegid  9635  xnegdi  9644  xsubge0  9657  xposdif  9658