Theorem xp1en 6717

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	|- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6326	. . 3 |- 1o = { (/) }
2	1	xpeq2i 4560	. 2 |- ( A X. 1o ) = ( A X. { (/) } )
3		0ex 4055	. . 3 |- (/) e. _V
4		xpsneng 6716	. . 3 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
5	3, 4	mpan2 421	. 2 |- ( A e. V -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
6	2, 5	eqbrtrid 3963	1 |- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   1oc1o 6306   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-1o 6313  df-en 6635

This theorem is referenced by: (None)