Theorem xpimasn 4987

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	|- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3641	. . 3 |- ( X e. A -> E. x x e. { X } )
2		snssi 3664	. . . . . 6 |- ( X e. A -> { X } C_ A )
3		dfss1 3280	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( A i^i { X } ) = { X } )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( A i^i { X } ) = { X } )
5	4	eleq2d 2209	. . . 4 |- ( X e. A -> ( x e. ( A i^i { X } ) <-> x e. { X } ) )
6	5	exbidv 1797	. . 3 |- ( X e. A -> ( E. x x e. ( A i^i { X } ) <-> E. x x e. { X } ) )
7	1, 6	mpbird 166	. 2 |- ( X e. A -> E. x x e. ( A i^i { X } ) )
8		xpima2m 4986	. 2 |- ( E. x x e. ( A i^i { X } ) -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )
9	7, 8	syl 14	1 |- ( X e. A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   i^i cin 3070   C_ wss 3071   {csn 3527   X. cxp 4537   "cima 4542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552

This theorem is referenced by:  imasnopn  12468