ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpiundi Unicode version

Theorem xpiundi 4426
Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpiundi  |-  ( C  X.  U_ x  e.  A  B )  = 
U_ x  e.  A  ( C  X.  B
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem xpiundi
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom 2491 . . . 4  |-  ( E. w  e.  C  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >. )
2 eliun 3689 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
32anbi1i 439 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
43exbii 1512 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )
)
5 df-rex 2329 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
6 df-rex 2329 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
76rexbii 2348 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
) )
8 rexcom4 2594 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
)  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
9 r19.41v 2483 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
109exbii 1512 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
)  <->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
117, 8, 103bitri 199 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
124, 5, 113bitr4i 205 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >. )
1312rexbii 2348 . . . 4  |-  ( E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  = 
<. w ,  y >.  <->  E. w  e.  C  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. )
14 elxp2 4391 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( C  X.  B )  <->  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >.
)
1514rexbii 2348 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B )  <->  E. x  e.  A  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >.
)
161, 13, 153bitr4i 205 . . 3  |-  ( E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  = 
<. w ,  y >.  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B ) )
17 elxp2 4391 . . 3  |-  ( z  e.  ( C  X.  U_ x  e.  A  B
)  <->  E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. )
18 eliun 3689 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( C  X.  B )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B
) )
1916, 17, 183bitr4i 205 . 2  |-  ( z  e.  ( C  X.  U_ x  e.  A  B
)  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ( C  X.  B ) )
2019eqriv 2053 1  |-  ( C  X.  U_ x  e.  A  B )  = 
U_ x  e.  A  ( C  X.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406   U_ciun 3685    X. cxp 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-iun 3687  df-opab 3847  df-xp 4379
This theorem is referenced by:  xpexgALT  5788
  Copyright terms: Public domain W3C validator