Theorem xpun 4595

Description: The cross product of two unions. (Contributed by NM, 12-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpun	|- ( ( A u. B ) X. ( C u. D ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( A X. D ) ) u. ( ( B X. C ) u. ( B X. D ) ) )

Proof of Theorem xpun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpundi 4590	. 2 |- ( ( A u. B ) X. ( C u. D ) ) = ( ( ( A u. B ) X. C ) u. ( ( A u. B ) X. D ) )
2		xpundir 4591	. . 3 |- ( ( A u. B ) X. C ) = ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) )
3		xpundir 4591	. . 3 |- ( ( A u. B ) X. D ) = ( ( A X. D ) u. ( B X. D ) )
4	2, 3	uneq12i 3223	. 2 |- ( ( ( A u. B ) X. C ) u. ( ( A u. B ) X. D ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) ) u. ( ( A X. D ) u. ( B X. D ) ) )
5		un4 3231	. 2 |- ( ( ( A X. C ) u. ( B X. C ) ) u. ( ( A X. D ) u. ( B X. D ) ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( A X. D ) ) u. ( ( B X. C ) u. ( B X. D ) ) )
6	1, 4, 5	3eqtri 2162	1 |- ( ( A u. B ) X. ( C u. D ) ) = ( ( ( A X. C ) u. ( A X. D ) ) u. ( ( B X. C ) u. ( B X. D ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1331   u. cun 3064   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-opab 3985  df-xp 4540

This theorem is referenced by: (None)