Theorem xrleid 9586

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	|- ( A e. RR* -> A <_ A )

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9566	. 2 |- ( A e. RR* -> -. A < A )
2		xrlenlt 7829	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A <_ A <-> -. A < A ) )
3	2	anidms 394	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ A <-> -. A < A ) )
4	1, 3	mpbird 166	1 |- ( A e. RR* -> A <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  xrleidd  9587  iccid  9708  ubioc1  9712  lbico1  9713  lbicc2  9767  ubicc2  9768  xrmaxifle  11015