Theorem xrletrd 9595

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttrd.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttrd.3	|- ( ph -> C e. RR* )
xrletrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
xrletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		xrlttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		xrletr 9591	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 429	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RR*cxr 7799   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  xaddge0  9661  xblss2ps  12573  xblss2  12574  comet  12668  xmetxp  12676