ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Unicode version

Theorem xrletri3 9556
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9551 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 264 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 197 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 xrlenlt 7797 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 xrlenlt 7797 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 266 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 464 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  A )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 190 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RR*cxr 7767    < clt 7768    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-apti 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  xleadd1a  9624  xsubge0  9632  psmetsym  12425  isxmet2d  12444  xmetsym  12464  xblss2  12501  xmetxp  12603
  Copyright terms: Public domain W3C validator