ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltso Unicode version

Theorem xrltso 8818
Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  |-  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltnr 8802 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  x )
21adantl 266 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  -.  x  <  x )
3 xrlttr 8817 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
43adantl 266 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x  < 
y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z ) )
52, 4ispod 4069 . . 3  |-  ( T. 
->  <  Po  RR* )
65trud 1268 . 2  |-  <  Po  RR*
7 elxr 8797 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
8 elxr 8797 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
9 elxr 8797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  <->  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )
10 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
11 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
12 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
13 axltwlin 7146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
15 ltpnf 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
1615ad2antlr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  < +oo )
17 breq2 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  = +oo  ->  (
x  <  z  <->  x  < +oo ) )
1817adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  <->  x  < +oo )
)
1916, 18mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  <  z
)
2019orcd 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
22 mnflt 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
2322ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  -> -oo  <  y )
24 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  = -oo  ->  (
z  <  y  <-> -oo  <  y
) )
2524adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( z  < 
y  <-> -oo  <  y )
)
2623, 25mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y
)
2726olcd 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
2827a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
2914, 21, 283jaodan 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
309, 29sylan2b 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
3130anasss 385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
3231ancoms 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
33 ltpnf 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
3433adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  < +oo )
35 breq2 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  (
z  <  y  <->  z  < +oo ) )
3635ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
y  <->  z  < +oo ) )
3734, 36mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  <  y
)
3837olcd 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
3938a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
4015ad2antlr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  < +oo )
4117adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  <->  x  < +oo )
)
4240, 41mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  <  z
)
4342orcd 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
4443a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
45 mnfltpnf 8807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  < +oo
46 breq12 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  = -oo  /\  y  = +oo )  ->  ( z  <  y  <-> -oo 
< +oo ) )
4746ancoms 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  = +oo  /\  z  = -oo )  ->  ( z  <  y  <-> -oo 
< +oo ) )
4845, 47mpbiri 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  = +oo  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y )
4948adantlr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y
)
5049olcd 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5239, 44, 513jaodan 1212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
539, 52sylan2b 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5453anasss 385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  = +oo  /\  ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5554ancoms 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
56 rexr 7130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
57 nltmnf 8810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  < -oo )
5958ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  < -oo )
60 breq2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
6160adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( x  < 
y  <->  x  < -oo )
)
6259, 61mtbird 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  <  y )
6362pm2.21d 559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
6432, 55, 633jaodan 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
658, 64sylan2b 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
6665anasss 385 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
6766ancoms 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
68 pnfnlt 8809 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
6968ad2antlr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  -. +oo  <  y
)
70 breq1 3795 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
7170adantl 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  ( x  < 
y  <-> +oo  <  y )
)
7269, 71mtbird 608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  -.  x  <  y )
7372pm2.21d 559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
74 df-3or 897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo )  <->  ( (
z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )
759, 74bitri 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR*  <->  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )
76 mnfltxr 8808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  -> -oo  <  z )
7776adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  -> -oo  <  z )
78 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  z  <-> -oo  <  z
) )
7978adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  z  <-> -oo  <  z
) )
8077, 79mpbird 160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  x  <  z )
8180orcd 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  z  \/  z  <  y ) )
8281a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
83 eqtr3 2075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  x  =  z )
8483breq1d 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  ( x  <  y  <->  z  <  y ) )
85 olc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  (
x  <  z  \/  z  <  y ) )
8684, 85syl6bi 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8782, 86jaodan 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8875, 87sylan2b 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  e.  RR* )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8988ancoms 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
9089adantlr 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
9167, 73, 903jaodan 1212 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
92913impa 1110 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
937, 92syl3an3b 1184 . . . 4  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
94933com13 1120 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
9594rgen3 2423 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  A. z  e.  RR*  ( x  <  y  -> 
( x  <  z  \/  z  <  y ) )
96 df-iso 4062 . 2  |-  (  < 
Or  RR*  <->  (  <  Po  RR* 
/\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  A. z  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) ) )
976, 95, 96mpbir2an 860 1  |-  <  Or  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    \/ w3o 895    /\ w3a 896    = wceq 1259   T. wtru 1260    e. wcel 1409   A.wral 2323   class class class wbr 3792    Po wpo 4059    Or wor 4060   RRcr 6946   +oocpnf 7116   -oocmnf 7117   RR*cxr 7118    < clt 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-po 4061  df-iso 4062  df-xp 4379  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124
This theorem is referenced by:  xrlelttr  8823  xrltletr  8824  xrletr  8825
  Copyright terms: Public domain W3C validator