ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltso Unicode version

Theorem xrltso 9550
Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  |-  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltnr 9534 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  x )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  -.  x  <  x )
3 xrlttr 9549 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x  < 
y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z ) )
52, 4ispod 4196 . . 3  |-  ( T. 
->  <  Po  RR* )
65mptru 1325 . 2  |-  <  Po  RR*
7 elxr 9531 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
8 elxr 9531 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
9 elxr 9531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  <->  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )
10 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
11 simpll 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
12 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
13 axltwlin 7800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
15 ltpnf 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
1615ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  < +oo )
17 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  = +oo  ->  (
x  <  z  <->  x  < +oo ) )
1817adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  <->  x  < +oo )
)
1916, 18mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  <  z
)
2019orcd 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
22 mnflt 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
2322ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  -> -oo  <  y )
24 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  = -oo  ->  (
z  <  y  <-> -oo  <  y
) )
2524adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( z  < 
y  <-> -oo  <  y )
)
2623, 25mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y
)
2726olcd 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
2827a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
2914, 21, 283jaodan 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
309, 29sylan2b 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
3130anasss 396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
3231ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
33 ltpnf 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
3433adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  < +oo )
35 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  (
z  <  y  <->  z  < +oo ) )
3635ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
y  <->  z  < +oo ) )
3734, 36mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  <  y
)
3837olcd 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
3938a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
4015ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  < +oo )
4117adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  <->  x  < +oo )
)
4240, 41mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  <  z
)
4342orcd 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
4443a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
45 mnfltpnf 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  < +oo
46 breq12 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  = -oo  /\  y  = +oo )  ->  ( z  <  y  <-> -oo 
< +oo ) )
4746ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  = +oo  /\  z  = -oo )  ->  ( z  <  y  <-> -oo 
< +oo ) )
4845, 47mpbiri 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  = +oo  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y )
4948adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y
)
5049olcd 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5239, 44, 513jaodan 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
539, 52sylan2b 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5453anasss 396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  = +oo  /\  ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5554ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
56 rexr 7779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
57 nltmnf 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  < -oo )
5958ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  < -oo )
60 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
6160adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( x  < 
y  <->  x  < -oo )
)
6259, 61mtbird 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  <  y )
6362pm2.21d 593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
6432, 55, 633jaodan 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
658, 64sylan2b 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
6665anasss 396 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
6766ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
68 pnfnlt 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
6968ad2antlr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  -. +oo  <  y
)
70 breq1 3902 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
7170adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  ( x  < 
y  <-> +oo  <  y )
)
7269, 71mtbird 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  -.  x  <  y )
7372pm2.21d 593 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
74 df-3or 948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo )  <->  ( (
z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )
759, 74bitri 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR*  <->  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )
76 mnfltxr 9540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  -> -oo  <  z )
7776adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  -> -oo  <  z )
78 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  z  <-> -oo  <  z
) )
7978adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  z  <-> -oo  <  z
) )
8077, 79mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  x  <  z )
8180orcd 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  z  \/  z  <  y ) )
8281a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
83 eqtr3 2137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  x  =  z )
8483breq1d 3909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  ( x  <  y  <->  z  <  y ) )
85 olc 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  (
x  <  z  \/  z  <  y ) )
8684, 85syl6bi 162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8782, 86jaodan 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8875, 87sylan2b 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  e.  RR* )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8988ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
9089adantlr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
9167, 73, 903jaodan 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
92913impa 1161 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
937, 92syl3an3b 1239 . . . 4  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
94933com13 1171 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
9594rgen3 2496 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  A. z  e.  RR*  ( x  <  y  -> 
( x  <  z  \/  z  <  y ) )
96 df-iso 4189 . 2  |-  (  < 
Or  RR*  <->  (  <  Po  RR* 
/\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  A. z  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) ) )
976, 95, 96mpbir2an 911 1  |-  <  Or  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    \/ w3o 946    /\ w3a 947    = wceq 1316   T. wtru 1317    e. wcel 1465   A.wral 2393   class class class wbr 3899    Po wpo 4186    Or wor 4187   RRcr 7587   +oocpnf 7765   -oocmnf 7766   RR*cxr 7767    < clt 7768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773
This theorem is referenced by:  xrlelttr  9557  xrltletr  9558  xrletr  9559  xrmaxiflemlub  10985
  Copyright terms: Public domain W3C validator