ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Unicode version

Theorem xrrege0 8968
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 8966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
21ad2ant2r 493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
3 simprr 499 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  <_  B )
42, 3jca 300 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B ) )
5 xrre 8963 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
64, 5syldan 276 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042   0cc0 7043   -oocmnf 7213   RR*cxr 7214    < clt 7215    <_ cle 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1re 7132  ax-addrcl 7135  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator