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Theorem z2ge 8969
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
Distinct variable groups:    k, M    k, N

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 simplr 497 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  ZZ )
2 simpr 108 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  M  <_  N )
31zred 8550 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  e.  RR )
43leidd 7682 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  N  <_  N )
5 breq2 3797 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( M  <_  k  <->  M  <_  N ) )
6 breq2 3797 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  N ) )
75, 6anbi12d 457 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  (
( M  <_  k  /\  N  <_  k )  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  N ) ) )
87rspcev 2702 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  N  <_  N ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
91, 2, 4, 8syl12anc 1168 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_ 
k  /\  N  <_  k ) )
10 simpll 496 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1110zred 8550 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  e.  RR )
1211leidd 7682 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  <_  M )
13 simpr 108 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  N  <_  M )
14 breq2 3797 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( M  <_  k  <->  M  <_  M ) )
15 breq2 3797 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  M ) )
1614, 15anbi12d 457 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  (
( M  <_  k  /\  N  <_  k )  <-> 
( M  <_  M  /\  N  <_  M ) ) )
1716rspcev 2702 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  <_  M  /\  N  <_  M ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
1810, 12, 13, 17syl12anc 1168 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_ 
k  /\  N  <_  k ) )
19 zletric 8476 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <_  M ) )
209, 18, 19mpjaodan 745 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ZZ  ( M  <_  k  /\  N  <_  k ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3793    <_ cle 7216   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
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