ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zapne Unicode version

Theorem zapne 8503
Description: Apartness is equivalent to not equal for integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zapne  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )

Proof of Theorem zapne
StepHypRef Expression
1 zcn 8437 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 8437 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 apne 7790 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  ->  M  =/=  N ) )
5 df-ne 2247 . . 3  |-  ( M  =/=  N  <->  -.  M  =  N )
6 ztri3or 8475 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
7 3orrot 926 . . . . . . 7  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  < 
N ) )
8 3orass 923 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  N  \/  N  <  M  \/  M  <  N )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
97, 8bitri 182 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( M  =  N  \/  ( N  <  M  \/  M  <  N ) ) )
106, 9sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =  N  \/  ( N  < 
M  \/  M  < 
N ) ) )
1110ord 676 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
12 zre 8436 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 8436 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 reaplt 7755 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( M  <  N  \/  N  < 
M ) ) )
15 orcom 680 . . . . . 6  |-  ( ( M  <  N  \/  N  <  M )  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) )
1614, 15syl6bb 194 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1712, 13, 16syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  ( N  <  M  \/  M  < 
N ) ) )
1811, 17sylibrd 167 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  =  N  ->  M #  N
) )
195, 18syl5bi 150 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =/=  N  ->  M #  N ) )
204, 19impbid 127 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M #  N  <->  M  =/=  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246   class class class wbr 3793   CCcc 7041   RRcr 7042    < clt 7215   # cap 7748   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
This theorem is referenced by:  zltlen  8507  msqznn  8528  qapne  8805  qreccl  8808  nn0opthd  9746  sizeneq0  9819  nnabscl  10124  dvdsval2  10343  dvdscmulr  10369  dvdsmulcr  10370  divconjdvds  10394  gcdn0gt0  10513  lcmcllem  10593  lcmid  10606  3lcm2e6woprm  10612  6lcm4e12  10613  mulgcddvds  10620  divgcdcoprmex  10628  cncongr1  10629  cncongr2  10630  isprm3  10644
  Copyright terms: Public domain W3C validator