ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdivadd Unicode version

Theorem zdivadd 8569
Description: Property of divisibility: if  D divides  A and  B then it divides  A  +  B. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdivadd  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  /  D )  e.  ZZ  /\  ( B  /  D
)  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  D )  e.  ZZ )

Proof of Theorem zdivadd
StepHypRef Expression
1 zcn 8489 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
2 zcn 8489 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
3 nncn 8166 . . . . . 6  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
4 nnap0 8187 . . . . . 6  |-  ( D  e.  NN  ->  D #  0 )
53, 4jca 300 . . . . 5  |-  ( D  e.  NN  ->  ( D  e.  CC  /\  D #  0 ) )
6 divdirap 7904 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( D  e.  CC  /\  D #  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  D
)  =  ( ( A  /  D )  +  ( B  /  D ) ) )
71, 2, 5, 6syl3an 1212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  (
( A  +  B
)  /  D )  =  ( ( A  /  D )  +  ( B  /  D
) ) )
873comr 1147 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  /  D )  =  ( ( A  /  D )  +  ( B  /  D
) ) )
98adantr 270 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  /  D )  e.  ZZ  /\  ( B  /  D
)  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  D )  =  ( ( A  /  D
)  +  ( B  /  D ) ) )
10 zaddcl 8524 . . 3  |-  ( ( ( A  /  D
)  e.  ZZ  /\  ( B  /  D
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /  D )  +  ( B  /  D
) )  e.  ZZ )
1110adantl 271 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  /  D )  e.  ZZ  /\  ( B  /  D
)  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  /  D )  +  ( B  /  D
) )  e.  ZZ )
129, 11eqeltrd 2159 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  /  D )  e.  ZZ  /\  ( B  /  D
)  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  B )  /  D )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095    + caddc 7098   # cap 7800    / cdiv 7879   NNcn 8158   ZZcz 8484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator