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Theorem zeo 8402
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 8304 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 5547 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 8061 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
4 2ap0 8083 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
53, 4div0api 7797 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 8313 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2126 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7syl6eqel 2144 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98orcd 662 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
109adantl 266 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nneoor 8399 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
12 nnz 8321 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 8321 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1412, 13orim12i 686 . . . . 5  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1511, 14syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1615adantl 266 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
17 nneoor 8399 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
1817adantl 266 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
19 recn 7072 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divnegap 7757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1235 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 8305 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 157 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 8226 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 7376 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2122 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 142 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
30 nnz 8321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
31 peano2zm 8340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
32 ax-1cn 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3332, 3negsubdi2i 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 8107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtr2i 2077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
3632, 3subcli 7350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
3732, 36negcon2i 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
3835, 37mpbi 137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
3938oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
40 negcl 7274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
41 addsubass 7284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4232, 3, 41mp3an23 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
44 negdi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
4532, 44mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
4639, 43, 453eqtr4a 2114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
4746oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
48 peano2cn 7209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
4940, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
503, 4pm3.2i 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
51 divsubdirap 7759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( (
-u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
523, 50, 51mp3an23 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
54 2div2e1 8115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
5554eqcomi 2060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
5655oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
5753, 56syl6reqr 2107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
58 peano2cn 7209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
59 divnegap 7757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
603, 4, 59mp3an23 1235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6463eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
6531, 64syl5ib 147 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
66 znegcl 8333 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
6765, 66syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
68 peano2re 7210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6968recnd 7113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7069halfcld 8226 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7170negnegd 7376 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7271eleq1d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7367, 72sylibd 142 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7430, 73syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7529, 74orim12d 710 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) ) )
7675adantr 265 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( (
-u N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) ) )
7718, 76mpd 13 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7810, 16, 773jaodan 1212 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
791, 78sylbi 118 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639    \/ w3o 895    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    - cmin 7245   -ucneg 7246   # cap 7646    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by:  zeo2  8403  zeo3  10179  mulsucdiv2z  10197
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