Theorem zeo3 11565

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	|- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9092	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zeo 9156	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		zeo2 9157	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
6		zcn 9059	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		1cnd 7782	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
8	6, 7	npcand 8077	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	oveq1d 5789	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
10	9	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
11		2z 9082	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
12		2ne0 8812	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
13		dvdsval2 11496	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1305	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
15	10, 14	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> 2 || N ) )
16	15	notbid 656	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
17	5, 16	bitrd 187	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> -. 2 || N ) )
18	17, 15	orbi12d 782	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) <-> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) ) )
19	3, 18	mpbid 146	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N \/ 2 || N ) )
20	19	orcomd 718	1 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N \/ -. 2 || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   / cdiv 8432   2c2 8771   ZZcz 9054   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  zeoxor  11566  zeo5  11585  m1exp1  11598  flodddiv4  11631