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Theorem zesq 9758
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 8507 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 sqval 9701 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
31, 2syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
43oveq1d 5579 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( N  x.  N )  / 
2 ) )
5 2cnd 8249 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
6 2ap0 8269 . . . . . . 7  |-  2 #  0
76a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
81, 1, 5, 7divassapd 8049 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  N
)  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
94, 8eqtrd 2115 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
109adantr 270 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2 ) ) )
11 zmulcl 8555 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( N  /  2
) )  e.  ZZ )
1210, 11eqeltrd 2159 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ )
131adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
14 sqcl 9704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N ^
2 )  e.  CC )
16 peano2cn 7380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1817halfcld 8412 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  CC )
1918, 13pncand 7557 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 ) )
20 binom21 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
2113, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
22 peano2cn 7380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
2313, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  + 
1 )  e.  CC )
24 sqval 9701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
26 2cn 8247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
27 mulcl 7232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
2826, 13, 27sylancr 405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
29 1cnd 7267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3015, 28, 29add32d 7413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3121, 25, 303eqtr3d 2123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3231oveq1d 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 ) )
33 2cnd 8249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
346a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2 #  0 )
3523, 23, 33, 34divassapd 8049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3617, 28, 33, 34divdirapd 8052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  2 ) ) )
3713, 33, 34divcanap3d 8019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
2 )  =  N )
3837oveq2d 5580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
3936, 38eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4032, 35, 393eqtr3d 2123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
41 peano2z 8538 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
42 zmulcl 8555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4341, 42sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4440, 43eqeltrrd 2160 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  e.  ZZ )
45 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4644, 45zsubcld 8625 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
4719, 46eqeltrrd 2160 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
4847ex 113 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
4948con3d 594 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
50 zsqcl 9713 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
51 zeo2 8604 . . . . 5  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5250, 51syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
53 zeo2 8604 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5449, 52, 533imtr4d 201 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
5554imp 122 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ )
5612, 55impbida 561 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564   CCcc 7111   0cc0 7113   1c1 7114    + caddc 7116    x. cmul 7118    - cmin 7416   # cap 7818    / cdiv 7897   2c2 8226   ZZcz 8502   ^cexp 9642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-iseq 9592  df-iexp 9643
This theorem is referenced by:  nnesq  9759  sqrt2irrlem  10765
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