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Theorem zextle 8389
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextle  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  M  =  N )
Distinct variable groups:    k, M    k, N

Proof of Theorem zextle
StepHypRef Expression
1 zre 8306 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
21leidd 7580 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  <_  M )
32adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  M  <_  M )
4 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
k  <_  M  <->  M  <_  M ) )
5 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
k  <_  N  <->  M  <_  N ) )
64, 5bibi12d 228 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  (
( k  <_  M  <->  k  <_  N )  <->  ( M  <_  M  <->  M  <_  N ) ) )
76rspcva 2671 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  ( M  <_  M  <->  M  <_  N ) )
83, 7mpbid 139 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  M  <_  N )
98adantlr 454 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  A. k  e.  ZZ  ( k  <_  M 
<->  k  <_  N )
)  ->  M  <_  N )
10 zre 8306 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1110leidd 7580 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  <_  N )
1211adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  N  <_  N )
13 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  (
k  <_  M  <->  N  <_  M ) )
14 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  (
k  <_  N  <->  N  <_  N ) )
1513, 14bibi12d 228 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
( k  <_  M  <->  k  <_  N )  <->  ( N  <_  M  <->  N  <_  N ) ) )
1615rspcva 2671 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  ( N  <_  M  <->  N  <_  N ) )
1712, 16mpbird 160 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  N  <_  M )
1817adantll 453 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  A. k  e.  ZZ  ( k  <_  M 
<->  k  <_  N )
)  ->  N  <_  M )
199, 18jca 294 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  A. k  e.  ZZ  ( k  <_  M 
<->  k  <_  N )
)  ->  ( M  <_  N  /\  N  <_  M ) )
2019ex 112 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  <_  M 
<->  k  <_  N )  ->  ( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
21 letri3 7158 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  =  N  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
221, 10, 21syl2an 277 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =  N  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
2320, 22sylibrd 162 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( k  <_  M 
<->  k  <_  N )  ->  M  =  N ) )
24233impia 1112 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  (
k  <_  M  <->  k  <_  N ) )  ->  M  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   class class class wbr 3792   RRcr 6946    <_ cle 7120   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-apti 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-iota 4895  df-fv 4938  df-ov 5543  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-neg 7248  df-z 8303
This theorem is referenced by:  zextlt  8390
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