ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zfnuleu Unicode version

Theorem zfnuleu 3910
Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2067 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 3911). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
zfnuleu.1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Assertion
Ref Expression
zfnuleu  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfnuleu
StepHypRef Expression
1 zfnuleu.1 . . . 4  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 nbfal 1296 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <-> F.  ) )
32albii 1400 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
43exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
51, 4mpbi 143 . . 3  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )
6 nfv 1462 . . . 4  |-  F/ x F.
76bm1.1 2067 . . 3  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )  ->  E! x A. y
( y  e.  x  <-> F.  ) )
85, 7ax-mp 7 . 2  |-  E! x A. y ( y  e.  x  <-> F.  )
93eubii 1951 . 2  |-  ( E! x A. y  -.  y  e.  x  <->  E! x A. y ( y  e.  x  <-> F.  ) )
108, 9mpbir 144 1  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 103   A.wal 1283   F. wfal 1290   E.wex 1422   E!weu 1942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator