Theorem zfpair2 4127

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 4126. (Contributed by NM, 14-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- { x , y } e. _V

Proof of Theorem zfpair2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 4126	. . . 4 |- E. z A. w ( ( w = x \/ w = y ) -> w e. z )
2	1	bm1.3ii 4044	. . 3 |- E. z A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) )
3		dfcleq 2131	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> A. w ( w e. z <-> w e. { x , y } ) )
4		vex 2684	. . . . . . . 8 |- w e. _V
5	4	elpr 3543	. . . . . . 7 |- ( w e. { x , y } <-> ( w = x \/ w = y ) )
6	5	bibi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( w e. z <-> w e. { x , y } ) <-> ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
7	6	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z <-> w e. { x , y } ) <-> A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
8	3, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( z = { x , y } <-> A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
9	8	exbii 1584	. . 3 |- ( E. z z = { x , y } <-> E. z A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
10	2, 9	mpbir 145	. 2 |- E. z z = { x , y }
11	10	issetri 2690	1 |- { x , y } e. _V

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {cpr 3523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529

This theorem is referenced by:  prexg  4128  onintexmid  4482  funopg  5152