Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zindd Unicode version

Theorem zindd 8546
 Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1
zindd.2
zindd.3
zindd.4
zindd.5
zindd.6
zindd.7
zindd.8
Assertion
Ref Expression
zindd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 8463 . . . . . . 7
2 elznn0nn 8446 . . . . . . 7
31, 2sylib 120 . . . . . 6
4 simpr 108 . . . . . . 7
54orim2i 711 . . . . . 6
63, 5syl 14 . . . . 5
7 zcn 8437 . . . . . . . 8
87negnegd 7477 . . . . . . 7
98eleq1d 2148 . . . . . 6
109orbi2d 737 . . . . 5
116, 10mpbid 145 . . . 4
12 zindd.1 . . . . . . . 8
1312imbi2d 228 . . . . . . 7
14 zindd.2 . . . . . . . 8
1514imbi2d 228 . . . . . . 7
16 zindd.3 . . . . . . . 8
1716imbi2d 228 . . . . . . 7
18 zindd.4 . . . . . . . 8
1918imbi2d 228 . . . . . . 7
20 zindd.6 . . . . . . 7
21 zindd.7 . . . . . . . . 9
2221com12 30 . . . . . . . 8
2322a2d 26 . . . . . . 7
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 8542 . . . . . 6
2524com12 30 . . . . 5
26 nnnn0 8362 . . . . . . . 8
2713, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 8542 . . . . . . . 8
2826, 27syl 14 . . . . . . 7
2928com12 30 . . . . . 6
30 zindd.8 . . . . . 6
3129, 30mpdd 40 . . . . 5
3225, 31jaod 670 . . . 4
3311, 32syl5 32 . . 3
3433ralrimiv 2434 . 2
35 znegcl 8463 . . . . 5
36 negeq 7368 . . . . . . . . 9
37 zcn 8437 . . . . . . . . . 10
3837negnegd 7477 . . . . . . . . 9
3936, 38sylan9eqr 2136 . . . . . . . 8
4039eqcomd 2087 . . . . . . 7
4140, 18syl 14 . . . . . 6
4241bicomd 139 . . . . 5
4335, 42rspcdv 2705 . . . 4
4443com12 30 . . 3
4544ralrimiv 2434 . 2
46 zindd.5 . . 3
4746rspccv 2699 . 2
4834, 45, 473syl 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wo 662   wceq 1285   wcel 1434  wral 2349  (class class class)co 5543  cr 7042  cc0 7043  c1 7044   caddc 7046  cneg 7347  cn 8106  cn0 8355  cz 8432 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator