ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Unicode version

Theorem zleltp1 8476
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 8425 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 8425 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 1re 7169 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 leadd1 7590 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
53, 4mp3an3 1258 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
61, 2, 5syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
7 peano2z 8457 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
8 zltp1le 8475 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  < 
( N  +  1 )  <->  ( M  + 
1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
97, 8sylan2 280 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  +  1 )  <-> 
( M  +  1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
106, 9bitr4d 189 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   RRcr 7031   1c1 7033    + caddc 7035    < clt 7204    <_ cle 7205   ZZcz 8421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422
This theorem is referenced by:  zltlem1  8478  nnleltp1  8480  nn0leltp1  8484  nn0lt10b  8498  suprzclex  8515  le9lt10  8573  fzdifsuc  9163  exbtwnz  9326  flqge  9353  btwnzge0  9371  flhalf  9373  frec2uzltd  9474  ltoddhalfle  10426  zssinfcl  10477  prmind2  10635
  Copyright terms: Public domain W3C validator