Theorem znnen 10818

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	|- ZZ ~~ NN

Proof of Theorem znnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unrab 3251	. . 3 |- ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
2		nnssz 8501	. . . . . 6 |- NN C_ ZZ
3		dfss1 3186	. . . . . 6 |- ( NN C_ ZZ <-> ( ZZ i^i NN ) = NN )
4	2, 3	mpbi 143	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = NN
5		dfin5 2989	. . . . 5 |- ( ZZ i^i NN ) = { z e. ZZ | z e. NN }
6	4, 5	eqtr3i 2105	. . . 4 |- NN = { z e. ZZ | z e. NN }
7	6	uneq1i 3132	. . 3 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = ( { z e. ZZ | z e. NN } u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
8		rabid2 2535	. . . 4 |- ( ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) } <-> A. z e. ZZ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
9		elznn 8500	. . . . 5 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) ) )
10	9	simprbi 269	. . . 4 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) )
11	8, 10	mprgbir 2426	. . 3 |- ZZ = { z e. ZZ | ( z e. NN \/ -u z e. NN0 ) }
12	1, 7, 11	3eqtr4ri 2114	. 2 |- ZZ = ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
13		nnex 8164	. . . 4 |- NN e. _V
14	13	enref 6333	. . 3 |- NN ~~ NN
15		zex 8493	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
16	15	rabex 3942	. . . . 5 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } e. _V
17		nn0ex 8413	. . . . 5 |- NN0 e. _V
18		negeq 7420	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u z = -u x )
19	18	eleq1d 2151	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( -u z e. NN0 <-> -u x e. NN0 ) )
20	19	elrab 2757	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( x e. ZZ /\ -u x e. NN0 ) )
21	20	simprbi 269	. . . . 5 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> -u x e. NN0 )
22		nn0negz 8518	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u y e. ZZ )
23		nn0cn 8417	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> y e. CC )
24	23	negnegd 7529	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> -u -u y = y )
25	24	eleq1d 2151	. . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
26	25	ibir 175	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> -u -u y e. NN0 )
27		negeq 7420	. . . . . . . 8 |- ( z = -u y -> -u z = -u -u y )
28	27	eleq1d 2151	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> ( -u z e. NN0 <-> -u -u y e. NN0 ) )
29	28	elrab 2757	. . . . . 6 |- ( -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } <-> ( -u y e. ZZ /\ -u -u y e. NN0 ) )
30	22, 26, 29	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( y e. NN0 -> -u y e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
31		elrabi 2754	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } -> x e. ZZ )
32	31	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. ZZ )
33	32	zcnd 8603	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> x e. CC )
34	23	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> y e. CC )
35		negcon2 7480	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } /\ y e. NN0 ) -> ( x = -u y <-> y = -u x ) )
37	16, 17, 21, 30, 36	en3i 6339	. . . 4 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN0
38		nn0ennn 9567	. . . 4 |- NN0 ~~ NN
39	37, 38	entri 6354	. . 3 |- { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN
40		inrab2 3253	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 }
41		incom 3174	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | -u z e. NN0 } i^i NN ) = ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } )
42		rabeq0 3290	. . . . 5 |- ( { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/) <-> A. z e. ( ZZ i^i NN ) -. -u z e. NN0 )
43		0red 7234	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 e. RR )
44		simpl 107	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. NN )
45	44	nnred 8171	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z e. RR )
46		nngt0 8183	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> 0 < z )
47	46	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < z )
48		nn0ge0 8432	. . . . . . . . . 10 |- ( -u z e. NN0 -> 0 <_ -u z )
49	48	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 <_ -u z )
50	45	le0neg1d 7737	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ -u z ) )
51	49, 50	mpbird 165	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> z <_ 0 )
52	43, 45, 43, 47, 51	ltletrd 7646	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> 0 < 0 )
53	43	ltnrd 7341	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN /\ -u z e. NN0 ) -> -. 0 < 0 )
54	52, 53	pm2.65da 620	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. -u z e. NN0 )
55	54, 4	eleq2s 2177	. . . . 5 |- ( z e. ( ZZ i^i NN ) -> -. -u z e. NN0 )
56	42, 55	mprgbir 2426	. . . 4 |- { z e. ( ZZ i^i NN ) | -u z e. NN0 } = (/)
57	40, 41, 56	3eqtr3i 2111	. . 3 |- ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/)
58		unennn 10817	. . 3 |- ( ( NN ~~ NN /\ { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ~~ NN /\ ( NN i^i { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) = (/) ) -> ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN )
59	14, 39, 57, 58	mp3an 1269	. 2 |- ( NN u. { z e. ZZ | -u z e. NN0 } ) ~~ NN
60	12, 59	eqbrtri 3824	1 |- ZZ ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   {crab 2357   u. cun 2980   i^i cin 2981   C_ wss 2982   (/)c0 3267   class class class wbr 3805   ~~ cen 6306   CCcc 7093   RRcr 7094   0cc0 7095   < clt 7267   <_ cle 7268   -ucneg 7399   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-er 6193  df-en 6309  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457  df-dvds 10404

This theorem is referenced by: (None)