ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zpnn0elfzo Unicode version

Theorem zpnn0elfzo 9329
Description: Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
zpnn0elfzo  |-  ( ( Z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( Z  +  N
)  e.  ( Z..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )

Proof of Theorem zpnn0elfzo
StepHypRef Expression
1 uzid 8750 . . 3  |-  ( Z  e.  ZZ  ->  Z  e.  ( ZZ>= `  Z )
)
21anim1i 333 . 2  |-  ( ( Z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( Z  e.  (
ZZ>= `  Z )  /\  N  e.  NN0 ) )
3 nn0z 8488 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4 zaddcl 8508 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( Z  +  N
)  e.  ZZ )
53, 4sylan2 280 . . 3  |-  ( ( Z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( Z  +  N
)  e.  ZZ )
6 elfzomin 9328 . . 3  |-  ( ( Z  +  N )  e.  ZZ  ->  ( Z  +  N )  e.  ( ( Z  +  N )..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( ( Z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( Z  +  N
)  e.  ( ( Z  +  N )..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )
8 uzaddcl 8791 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  ( ZZ>= `  Z )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( Z  +  N )  e.  ( ZZ>= `  Z )
)
9 fzoss1 9293 . . . 4  |-  ( ( Z  +  N )  e.  ( ZZ>= `  Z
)  ->  ( ( Z  +  N )..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) )  C_  ( Z..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( Z  e.  ( ZZ>= `  Z )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( Z  +  N
)..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) )  C_  ( Z..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )
1110sselda 3009 . 2  |-  ( ( ( Z  e.  (
ZZ>= `  Z )  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( Z  +  N
)  e.  ( ( Z  +  N )..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )  -> 
( Z  +  N
)  e.  ( Z..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )
122, 7, 11syl2anc 403 1  |-  ( ( Z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( Z  +  N
)  e.  ( Z..^ ( ( Z  +  N )  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434    C_ wss 2983   ` cfv 4953  (class class class)co 5564   1c1 7080    + caddc 7082   NN0cn0 8391   ZZcz 8468   ZZ>=cuz 8736  ..^cfzo 9265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-fz 9142  df-fzo 9266
This theorem is referenced by:  zpnn0elfzo1  9330
  Copyright terms: Public domain W3C validator