Theorem zq 8781

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8426	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
2	1	div1d 7924	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
3	2	eqeq2d 2093	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
4		eqcom 2084	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
5	3, 4	syl6rbbr 197	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8106	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5545	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2093	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2702	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 415	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 161	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2457	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2395	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 8777	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 199	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   E.wrex 2350  (class class class)co 5537   1c1 7033   / cdiv 7816   NNcn 8095   ZZcz 8421   QQcq 8774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-z 8422  df-q 8775

This theorem is referenced by:  zssq  8782  qdivcl  8798  irrmul  8802  qbtwnz  9327  qbtwnxr  9333  flqlt  9354  flid  9355  flqltnz  9358  flqbi2  9362  flqaddz  9368  flqmulnn0  9370  ceilid  9386  flqeqceilz  9389  flqdiv  9392  modqcl  9397  mulqmod0  9401  modqfrac  9408  zmod10  9411  modqmulnn  9413  zmodcl  9415  zmodfz  9417  zmodid2  9423  q0mod  9426  q1mod  9427  modqcyc  9430  mulp1mod1  9436  modqmuladd  9437  modqmuladdim  9438  modqmuladdnn0  9439  m1modnnsub1  9441  addmodid  9443  modqm1p1mod0  9446  modqltm1p1mod  9447  modqmul1  9448  modqmul12d  9449  q2txmodxeq0  9455  modifeq2int  9457  modaddmodup  9458  modaddmodlo  9459  modqaddmulmod  9462  modqdi  9463  modqsubdir  9464  modsumfzodifsn  9467  addmodlteq  9469  qexpcl  9578  qexpclz  9583  iexpcyc  9665  facavg  9759  bcval  9762  qabsor  10088  dvdsval3  10333  moddvds  10338  absdvdsb  10347  dvdsabsb  10348  dvdslelemd  10377  dvdsmod  10396  mulmoddvds  10397  divalglemnn  10451  divalgmod  10460  fldivndvdslt  10468  gcdabs  10512  gcdabs1  10513  modgcd  10515  bezoutlemnewy  10518  bezoutlemstep  10519  eucalglt  10572  lcmabs  10591  sqrt2irraplemnn  10690