Theorem zrevaddcl 8552

Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zrevaddcl	|- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> M e. ZZ ) )

Proof of Theorem zrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8507	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		pncan 7451	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
3	1, 2	sylan2 280	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
4	3	ancoms 264	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
5	4	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
6		zsubcl 8543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ )
7	6	ancoms 264	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ )
8	7	adantlr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ )
9	5, 8	eqeltrrd 2160	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10	9	ex 113	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) e. ZZ -> M e. ZZ ) )
11		zaddcl 8542	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
12	11	expcom 114	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
13	12	adantr 270	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
14	10, 13	impbid 127	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
15	14	pm5.32da 440	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> ( M e. CC /\ M e. ZZ ) ) )
16		zcn 8507	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
17	16	pm4.71ri 384	. 2 |- ( M e. ZZ <-> ( M e. CC /\ M e. ZZ ) )
18	15, 17	syl6bbr 196	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> M e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434  (class class class)co 5564   CCcc 7111   + caddc 7116   - cmin 7416   ZZcz 8502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503

This theorem is referenced by:  eqreznegel  8850