Theorem zrevaddcl 9097

Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zrevaddcl	|- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> M e. ZZ ) )

Proof of Theorem zrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9052	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		pncan 7961	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
3	1, 2	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
4	3	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
5	4	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
6		zsubcl 9088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ )
7	6	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ )
8	7	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ )
9	5, 8	eqeltrrd 2215	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10	9	ex 114	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) e. ZZ -> M e. ZZ ) )
11		zaddcl 9087	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
12	11	expcom 115	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
13	12	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
14	10, 13	impbid 128	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
15	14	pm5.32da 447	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> ( M e. CC /\ M e. ZZ ) ) )
16		zcn 9052	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
17	16	pm4.71ri 389	. 2 |- ( M e. ZZ <-> ( M e. CC /\ M e. ZZ ) )
18	15, 17	syl6bbr 197	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> M e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   CCcc 7611   + caddc 7616   - cmin 7926   ZZcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048

This theorem is referenced by:  eqreznegel  9399