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Theorem zsupcllemstep 10548
Description: Lemma for zsupcl 10550. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y, z    n, M, y    ph, n, y    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    M( x, z)

Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8761 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
21ad3antrrr 476 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  K  e.  ZZ )
3 nfv 1462 . . . . . . . 8  |-  F/ y  K  e.  ( ZZ>= `  M )
4 nfv 1462 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
5 nfcv 2223 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y ZZ
6 nfra1 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y
7 nfra1 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
86, 7nfan 1498 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
95, 8nfrexya 2410 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
104, 9nfim 1505 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
113, 10nfan 1498 . . . . . . 7  |-  F/ y ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
12 nfv 1462 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps )
1311, 12nfan 1498 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )
14 nfv 1462 . . . . . 6  |-  F/ y
[. K  /  n ]. ps
1513, 14nfan 1498 . . . . 5  |-  F/ y ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )
16 nfcv 2223 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n ZZ
1716elrabsf 2861 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  [. y  /  n ]. ps ) )
1817simprbi 269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [. y  /  n ]. ps )
19 sbsbc 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  n ] ps 
<-> 
[. y  /  n ]. ps )
2018, 19sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [ y  /  n ] ps )
2120ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  [ y  /  n ] ps )
22 elrabi 2754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  y  e.  ZZ )
23 zltp1le 8538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
242, 22, 23syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
2524biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( K  +  1 )  <_  y )
262peano2zd 8605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 8765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2826, 22, 27syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2928adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
3025, 29mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )
31 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
3231ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
33 nfs1v 1858 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [ y  /  n ] ps
3433nfn 1589 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  -.  [ y  /  n ] ps
35 sbequ12 1696 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  ( ps 
<->  [ y  /  n ] ps ) )
3635notbid 625 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  ps  <->  -.  [ y  /  n ] ps )
)
3734, 36rspc 2704 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps  ->  -.  [ y  /  n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  -.  [ y  /  n ] ps )
3921, 38pm2.65da 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  ->  -.  K  <  y )
4039ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  -.  K  <  y
) )
4115, 40ralrimi 2437 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y )
422ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
43 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  [. K  /  n ]. ps )
4416elrabsf 2861 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  [. K  /  n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )
46 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  K  ->  (
y  <  z  <->  y  <  K ) )
4746rspcev 2710 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
4845, 47sylancom 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z )
4948exp31 356 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) )
5015, 49ralrimi 2437 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
51 breq1 3808 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <  y  <->  K  <  y ) )
5251notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  K  <  y ) )
5352ralbidv 2373 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y ) )
54 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
y  <  x  <->  y  <  K ) )
5554imbi1d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
5655ralbidv 2373 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  A. y  e.  RR  ( y  <  K  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
) ) )
5753, 56anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )  <->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) ) )
5857rspcev 2710 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1168 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
60 sbcng 2863 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<->  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
6160ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  -.  [. K  /  n ]. ps )
)
6261biimpar 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  [. K  /  n ].  -.  ps )
63 sbcsng 3469 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<-> 
A. n  e.  { K }  -.  ps )
)
6463ad3antrrr 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  A. n  e.  { K }  -.  ps ) )
6562, 64mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  { K }  -.  ps )
66 simplrr 503 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps )
67 uzid 8766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ( ZZ>= `  K )
)
68 peano2uz 8804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
70 fzouzsplit 9317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
72 fzosn 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K..^ ( K  +  1 ) )  =  { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ ( K  +  1
) )  =  { K } )
7473uneq1d 3135 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
7571, 74eqtrd 2115 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
7675raleqdv 2560 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps ) )
77 ralunb 3163 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) )
7876, 77syl6bb 194 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) ) )
7978ad3antrrr 476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps 
<->  ( A. n  e. 
{ K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 886 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
81 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  ph )
82 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8381, 82mpand 420 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8483adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
8786ralrimiva 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  ps )
89 nfsbc1v 2842 . . . . . . . 8  |-  F/ n [. K  /  n ]. ps
9089nfdc 1590 . . . . . . 7  |-  F/ nDECID  [. K  /  n ]. ps
91 sbceq1a 2833 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  ( ps 
<-> 
[. K  /  n ]. ps ) )
9291dcbid 782 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. K  /  n ]. ps )
)
9390, 92rspc 2704 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9493ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> DECID  [. K  /  n ]. ps )
96 exmiddc 778 . . . 4  |-  (DECID  [. K  /  n ]. ps  ->  (
[. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 745 . 2  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
9998exp31 356 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   [wsb 1687   A.wral 2353   E.wrex 2354   {crab 2357   [.wsbc 2824    u. cun 2980   {csn 3416   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   RRcr 7094   1c1 7096    + caddc 7098    < clt 7267    <_ cle 7268   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752  ..^cfzo 9281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158  df-fzo 9282
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  10549
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