ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ztri3or Unicode version

Theorem ztri3or 8511
Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ztri3or  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )

Proof of Theorem ztri3or
StepHypRef Expression
1 zsubcl 8509 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
2 ztri3or0 8510 . . 3  |-  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  ->  (
( M  -  N
)  <  0  \/  ( M  -  N
)  =  0  \/  0  <  ( M  -  N ) ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  <  0  \/  ( M  -  N
)  =  0  \/  0  <  ( M  -  N ) ) )
4 zre 8472 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
54adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
6 zre 8472 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
76adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
85, 7posdifd 7735 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  0  <  ( N  -  M ) ) )
97, 5resubcld 7588 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  RR )
109lt0neg2d 7720 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  ( N  -  M )  <->  -u ( N  -  M
)  <  0 ) )
117recnd 7245 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
125recnd 7245 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
1311, 12negsubdi2d 7538 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> 
-u ( N  -  M )  =  ( M  -  N ) )
1413breq1d 3816 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u ( N  -  M )  <  0  <->  ( M  -  N )  <  0
) )
158, 10, 143bitrd 212 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  -  N )  <  0 ) )
1612, 11subeq0ad 7532 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  =  0  <-> 
M  =  N ) )
1716bicomd 139 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  =  N  <-> 
( M  -  N
)  =  0 ) )
187, 5posdifd 7735 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  0  <  ( M  -  N ) ) )
1915, 17, 183orbi123d 1243 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  < 
N  \/  M  =  N  \/  N  < 
M )  <->  ( ( M  -  N )  <  0  \/  ( M  -  N )  =  0  \/  0  < 
( M  -  N
) ) ) )
203, 19mpbird 165 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564   RRcr 7078   0cc0 7079    < clt 7251    - cmin 7382   -ucneg 7383   ZZcz 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469
This theorem is referenced by:  zletric  8512  zlelttric  8513  zltnle  8514  zleloe  8515  zapne  8539  zdceq  8540  zdcle  8541  zdclt  8542  uzm1  8766  qtri3or  9365  divalglemeunn  10512  divalglemeuneg  10514  znege1  10747
  Copyright terms: Public domain W3C validator