Theorem 0elon 4155

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4154	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 3913	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4137	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 144	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1434  ∅c0 3258  Ord word 4125  Oncon0 4126

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-nul 3912

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-uni 3610  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131

This theorem is referenced by:  inton  4156  onn0  4163  onm  4164  limon  4265  ordtriexmid  4273  ordtri2orexmid  4274  onsucsssucexmid  4278  onsucelsucexmid  4281  ordsoexmid  4313  ordpwsucexmid  4321  ordtri2or2exmid  4322  tfr0dm  5971  1on  6072  ordgt0ge1  6082  omv  6099  oa0  6101  om0  6102  oei0  6103  omcl  6105  omv2  6109  oaword1  6115  nna0r  6122  nnm0r  6123  card0  6516