Theorem 0elon 4314

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4313	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 4055	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 4296	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 145	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  ∅c0 3363  Ord word 4284  Oncon0 4285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290

This theorem is referenced by:  inton  4315  onn0  4322  onm  4323  limon  4429  ordtriexmid  4437  ordtri2orexmid  4438  onsucsssucexmid  4442  onsucelsucexmid  4445  ordsoexmid  4477  ordpwsucexmid  4485  ordtri2or2exmid  4486  tfr0dm  6219  1on  6320  ordgt0ge1  6332  omv  6351  oa0  6353  om0  6354  oei0  6355  omcl  6357  omv2  6361  oaword1  6367  nna0r  6374  nnm0r  6375  card0  7044