Theorem 0lt1 7882

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7719	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 7759	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7758	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 7823	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 422	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 145	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ℝcr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   <_ℝ cltrr 7617   < clt 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0lt1 7719  ax-rnegex 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798

This theorem is referenced by:  ine0  8149  0le1  8236  inelr  8339  1ap0  8345  eqneg  8485  ltp1  8595  ltm1  8597  recgt0  8601  mulgt1  8614  reclt1  8647  recgt1  8648  recgt1i  8649  recp1lt1  8650  recreclt  8651  sup3exmid  8708  nnge1  8736  nngt0  8738  0nnn  8740  nnrecgt0  8751  0ne1  8780  2pos  8804  3pos  8807  4pos  8810  5pos  8813  6pos  8814  7pos  8815  8pos  8816  9pos  8817  neg1lt0  8821  halflt1  8930  nn0p1gt0  8999  elnnnn0c  9015  elnnz1  9070  recnz  9137  1rp  9438  divlt1lt  9504  divle1le  9505  ledivge1le  9506  nnledivrp  9546  fz10  9819  fzpreddisj  9844  elfz1b  9863  modqfrac  10103  expgt1  10324  ltexp2a  10338  leexp2a  10339  expnbnd  10408  expnlbnd  10409  expnlbnd2  10410  expcanlem  10455  expcan  10456  bcn1  10497  resqrexlem1arp  10770  mulcn2  11074  reccn2ap  11075  georeclim  11275  geoisumr  11280  cos1bnd  11455  sin01gt0  11457  sincos1sgn  11460  nnoddm1d2  11596  dvdsnprmd  11795  divdenle  11864  mopnex  12663  cos02pilt1  12921