ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0lt1 GIF version

Theorem 0lt1 7202
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 ax-0lt1 7048 . 2 0 < 1
2 0re 7085 . . 3 0 ∈ ℝ
3 1re 7084 . . 3 1 ∈ ℝ
4 ltxrlt 7144 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 < 1))
52, 3, 4mp2an 410 . 2 (0 < 1 ↔ 0 < 1)
61, 5mpbir 138 1 0 < 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 102  wcel 1409   class class class wbr 3792  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   < cltrr 6951   < clt 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1re 7036  ax-addrcl 7039  ax-rnegex 7051
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-ltxr 7124
This theorem is referenced by:  ine0  7463  0le1  7550  inelr  7649  1ap0  7655  eqneg  7783  ltp1  7885  ltm1  7887  recgt0  7891  mulgt1  7904  reclt1  7937  recgt1  7938  recgt1i  7939  recp1lt1  7940  recreclt  7941  nnge1  8013  nngt0  8015  0nnn  8017  nnrecgt0  8027  0ne1  8057  2pos  8081  3pos  8084  4pos  8087  5pos  8090  6pos  8091  7pos  8092  8pos  8093  9pos  8094  neg1lt0  8098  halflt1  8199  nn0p1gt0  8268  elnnnn0c  8284  elnnz1  8325  recnz  8391  1rp  8685  divlt1lt  8748  divle1le  8749  ledivge1le  8750  nnledivrp  8784  fz10  9012  fzpreddisj  9035  elfz1b  9054  modqfrac  9287  expgt1  9458  ltexp2a  9472  leexp2a  9473  expnbnd  9540  expnlbnd  9541  expnlbnd2  9542  bcn1  9626  resqrexlem1arp  9832  mulcn2  10064  nnoddm1d2  10222
  Copyright terms: Public domain W3C validator