Theorem 0lt1sr 7090

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 6892	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 6875	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 417	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 6935	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcomprg 6916	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P))
7	1, 3, 6	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
8	5, 7	breqtrri 3831	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
9		ltsrprg 7072	. . . 4 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))))
10	1, 1, 3, 1, 9	mp4an 418	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
11	8, 10	mpbir 144	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12		df-0r 7056	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
13		df-1r 7057	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
14	11, 12, 13	3brtr4i 3834	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ⟨cop 3420   class class class wbr 3806  (class class class)co 5569  [cec 6198  Pcnp 6629  1_Pc1p 6630   +_P cpp 6631  <_P cltp 6633   ~_R cer 6634  0_Rc0r 6636  1_Rc1r 6637   <_R cltr 6641

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-iinf 4360

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-eprel 4074  df-id 4078  df-po 4081  df-iso 4082  df-iord 4151  df-on 4153  df-suc 4156  df-iom 4363  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-f1 4960  df-fo 4961  df-f1o 4962  df-fv 4963  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-1st 5824  df-2nd 5825  df-recs 5980  df-irdg 6045  df-1o 6091  df-2o 6092  df-oadd 6095  df-omul 6096  df-er 6200  df-ec 6202  df-qs 6206  df-ni 6642  df-pli 6643  df-mi 6644  df-lti 6645  df-plpq 6682  df-mpq 6683  df-enq 6685  df-nqqs 6686  df-plqqs 6687  df-mqqs 6688  df-1nqqs 6689  df-rq 6690  df-ltnqqs 6691  df-enq0 6762  df-nq0 6763  df-0nq0 6764  df-plq0 6765  df-mq0 6766  df-inp 6804  df-i1p 6805  df-iplp 6806  df-iltp 6808  df-enr 7051  df-nr 7052  df-ltr 7055  df-0r 7056  df-1r 7057

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7091  ltadd1sr  7101  caucvgsrlemcl  7113  caucvgsrlemfv  7115  ax0lt1  7190