Theorem 0mnnnnn0 9002

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7759	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		df-neg 7929	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3	2	eqcomi 2141	. . . . 5 ⊢ (0 − 𝑁) = -𝑁
4	3	eleq1i 2203	. . . 4 ⊢ ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0ge0 8995	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
6		nnre 8720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	le0neg1d 8272	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
8		nngt0 8738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
9		0red 7760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 7873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝑁))
11		pm2.21 606	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 < 𝑁 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
12	10, 11	syl6bi 162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
14	7, 13	sylbird 169	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
16	4, 15	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
17	1, 16	mt2i 633	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18		df-nel 2402	. 2 ⊢ ((0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	17, 18	sylibr 133	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1480   ∉ wnel 2401   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℝcr 7612  0cc0 7613   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926  -cneg 7927  ℕcn 8713  ℕ₀cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by: (None)