Theorem 0neqopab 5809

Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
0neqopab	⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}

Proof of Theorem 0neqopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} → ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
2		elopab 4175	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∃𝑥∃𝑦(∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑))
3		nfopab1 3992	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
4	3	nfel2 2292	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
5	4	nfn 1636	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
6		nfopab2 3993	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
7	6	nfel2 2292	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
8	7	nfn 1636	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
9		vex 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10		vex 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	9, 10	opnzi 4152	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ∅
12		nesym 2351	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13		pm2.21 606	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
14	12, 13	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ∅ → (∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
16	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑) → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
17	8, 16	exlimi 1573	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑) → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
18	5, 17	exlimi 1573	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑) → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
19	2, 18	sylbi 120	. 2 ⊢ (∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
20	1, 19	pm2.65i 628	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ∅c0 3358  ⟨cop 3525  {copab 3983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985

This theorem is referenced by: (None)