ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nnq GIF version

Theorem 0nnq 6520
Description: The empty set is not a positive fraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
0nnq ¬ ∅ ∈ Q

Proof of Theorem 0nnq
StepHypRef Expression
1 neirr 2229 . . 3 ¬ ∅ ≠ ∅
2 enqer 6514 . . . . 5 ~Q Er (N × N)
3 erdm 6147 . . . . 5 ( ~Q Er (N × N) → dom ~Q = (N × N))
42, 3ax-mp 7 . . . 4 dom ~Q = (N × N)
5 elqsn0 6206 . . . 4 ((dom ~Q = (N × N) ∧ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )) → ∅ ≠ ∅)
64, 5mpan 408 . . 3 (∅ ∈ ((N × N) / ~Q ) → ∅ ≠ ∅)
71, 6mto 598 . 2 ¬ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q )
8 df-nqqs 6504 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
98eleq2i 2120 . 2 (∅ ∈ Q ↔ ∅ ∈ ((N × N) / ~Q ))
107, 9mtbir 606 1 ¬ ∅ ∈ Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  c0 3252   × cxp 4371  dom cdm 4373   Er wer 6134   / cqs 6136  Ncnpi 6428   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-enq 6503  df-nqqs 6504
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator