ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1ap0 GIF version

Theorem 1ap0 8319
Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
1ap0 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0
StepHypRef Expression
1 0lt1 7857 . . 3 0 < 1
21olci 706 . 2 (1 < 0 ∨ 0 < 1)
3 1re 7733 . . 3 1 ∈ ℝ
4 0re 7734 . . 3 0 ∈ ℝ
5 reaplt 8317 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1)))
63, 4, 5mp2an 422 . 2 (1 # 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
72, 6mpbir 145 1 1 # 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wo 682  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   < clt 7768   # cap 8310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311
This theorem is referenced by:  recap0  8412  div1  8430  recdivap  8445  divdivap1  8450  divdivap2  8451  neg1ap0  8793  iap0  8901  qreccl  9390  expcl2lemap  10260  m1expcl2  10270  expclzaplem  10272  1exp  10277  geo2sum2  11239  geoihalfsum  11246  efap0  11297  tan0  11352  cvgcmp2nlemabs  13123
  Copyright terms: Public domain W3C validator