ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1domsn GIF version

Theorem 1domsn 6384
Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
1domsn {𝐴} ≼ 1𝑜

Proof of Theorem 1domsn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1o 6107 . . . 4 ∅ ∈ 1𝑜
21rgenw 2423 . . 3 𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1𝑜
3 elsni 3434 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
43adantr 270 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝐴)
5 elsni 3434 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
65adantl 271 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑦 = 𝐴)
74, 6eqtr4d 2118 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝑦)
87a1d 22 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦))
98rgen2a 2422 . . 3 𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)
10 eqid 2083 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅)
11 eqidd 2084 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∅ = ∅)
1210, 11f1mpt 5462 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1𝑜 ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1𝑜 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)))
132, 9, 12mpbir2an 884 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1𝑜
14 1onn 6180 . . . 4 1𝑜 ∈ ω
1514elexi 2620 . . 3 1𝑜 ∈ V
1615f1dom 6328 . 2 ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1𝑜 → {𝐴} ≼ 1𝑜)
1713, 16ax-mp 7 1 {𝐴} ≼ 1𝑜
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  c0 3267  {csn 3416   class class class wbr 3805  cmpt 3859  ωcom 4359  1-1wf1 4949  1𝑜c1o 6078  cdom 6307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-dom 6310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator