ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1exp GIF version

Theorem 1exp 9654
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 7228 . . . 4 1 ∈ V
21snid 3443 . . 3 1 ∈ {1}
3 1ap0 7809 . . 3 1 # 0
4 ax-1cn 7183 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 3549 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 7 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 3434 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 3434 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 5572 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 8303 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10syl6eq 2131 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 283 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 eleq1 2145 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
141, 13mpbiri 166 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15 elsng 3431 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
1614, 15syl 14 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
1716ibir 175 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
1812, 17syl 14 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
197oveq2d 5579 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20 1div1e1 7911 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
2119, 20syl6eq 2131 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22 eleq1 2145 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
231, 22mpbiri 166 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24 elsng 3431 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
2625ibir 175 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2721, 26syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2827adantr 270 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
296, 18, 2, 28expcl2lemap 9637 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
302, 3, 29mp3an12 1259 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31 elsni 3434 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
3230, 31syl 14 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2610  wss 2982  {csn 3416   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cc 7093  0cc0 7095  1c1 7096   · cmul 7100   # cap 7800   / cdiv 7879  cz 8484  cexp 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-iseq 9574  df-iexp 9625
This theorem is referenced by:  exprecap  9666  sq1  9718  iexpcyc  9728
  Copyright terms: Public domain W3C validator