Theorem 1exp 9654

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 7228	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 3443	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		1ap0 7809	. . 3 ⊢ 1 # 0
4		ax-1cn 7183	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 3549	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 5572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 8303	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	syl6eq 2131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		eleq1 2145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
14	1, 13	mpbiri 166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15		elsng 3431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
17	16	ibir 175	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
18	12, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
19	7	oveq2d 5579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20		1div1e1 7911	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
21	19, 20	syl6eq 2131	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22		eleq1 2145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
23	1, 22	mpbiri 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24		elsng 3431	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
26	25	ibir 175	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
28	27	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 9637	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
30	2, 3, 29	mp3an12 1259	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31		elsni 3434	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
32	30, 31	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  Vcvv 2610   ⊆ wss 2982  {csn 3416   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  ℂcc 7093  0cc0 7095  1c1 7096   · cmul 7100   # cap 7800   / cdiv 7879  ℤcz 8484  ↑cexp 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-iseq 9574  df-iexp 9625

This theorem is referenced by:  exprecap  9666  sq1  9718  iexpcyc  9728