Theorem 1idssfct 11785

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8724	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnz 9066	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1dvds 11496	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5		breq1 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
6	5	elrab 2835	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
7	6	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
8	1, 4, 7	sylancr 410	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
9		iddvds 11495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
10	2, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∥ 𝑁)
11		breq1 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
12	11	elrab 2835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁))
13	12	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
14	10, 13	mpdan 417	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
15		prssi 3673	. 2 ⊢ ((1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁}) → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
16	8, 14, 15	syl2anc 408	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  {crab 2418   ⊆ wss 3066  {cpr 3523   class class class wbr 3924  1c1 7614  ℕcn 8713  ℤcz 9047   ∥ cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-z 9048  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  isprm2  11787